The lattice of finite covex geometries

Nathalie Caspard*, LACL
Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. On étudie dans ce papier le treillis de toutes les géométries convexes définies sur un ensemble fini S. Nous caractérisons notamment les éléments irréductibles et la relation de couverture de ce treillis, cette dernière en utilisant la notion de quasi-fermé admissible ou de fermé supprimable. Ceci nous permet de déterminer les changements, par exemple sur les éléments irréductibles d'une géométrie convexe, quand l'on passe de cette géométrie à une autre la couvrant (ou étant couverte par elle) dans le treillis.
Mots clés : Famille de Moore, fermeture anti-échange, géométrie convexe, système de fermeture, quasi-fermé, treillis localement distributif.

Abstract. In this paper we study the lattice of all the convex geometries defined on a finite set. Using the notion of (admissible) quasi-closed set and of (deletable) closed set. We determine the join and meet irreducible elements of this lattice and we use the notions of G-admissible quasi-closed set and of deletable closed set to characterize its covering relation. More precisely, we study the changes induced, for instance, on the irreducible elements when one goes from one convex geometry from another one covering (or covered) by the first one.
Keywords : Antiexchange closure operator, closure system, convex geometry, cover relation, locally distributive lattice, quasi-closed set.

AMS Classification : 06.

*LACL, Université Paris 12 Val-de-Marne, 61 avenue du Général de Gaulle, 94010 Créteil Cedex.