Lattice of closure systems on a finite set

Nathalie Caspard*, LACL
Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. Une famille de Moore (ou système de fermeture) sur un ensemble S fini est une famille de parties stable par l'intersection et contenant S. Deux classes de familles de Moore sont particulièrement importantes, celle formée par les familles de Moore stables par union (et en particulier les topologies) et celle formée par les géométries convexes. Nous étudions dans ce papier les deux treillis formés par ces classes (ordonnées par inclusion). Nous caractérisons notamment leurs éléments irréductibles et leur relation de couverture, cette dernière en utilisant la notion de quasi-fermé admissible. Ceci nous permet de déterminer les changements, par exemple sur les éléments irréductibles, quand l'on passe d'une de ces familles de Moore à une autre la couvrant (ou étant couverte par elle).
Mots clés : Famille de Moore, fermeture anti-échange, géométrie convexe, système de fermeture, treillis localement distributif.

Abstract. A closure system (or Moore family) C on a finite set S is a family of subsets of S stable by intersection and containing S. We study in this paper the lattices formed by two classes of particularly significant closure systems, namely the union stable closure systems and the convex geometries. For instance we characterize the irreducible elements of these lattices and we show that they have not so many classical properties. A thorough study of their covering relations w, using the notion of admissible quasi-closed set, allows us to determine the changes induced, for instance, on the irreducible elements when one goes from C to C', with C w C'.
Keywords : Antiexchange closure operator, closure system, convex geometry, locally distributive lattice, Moore family.

AMS Classification : 06.

*LACL, Université Paris 12 Val-de-Marne, 61 avenue du Général de Gaulle, 94010 Créteil Cedex.