Supporting weakly Pareto optimal allocations in infinite dimensional nonconvex economies

Monique Florenzano, CERMSEM
Pascal Gourdel, CERMSEM
Alejandro Jofré*, Universidad de Chile

Résumé. Nous établissons dans ce papier une nouvelle version du second théorème de l'économie du bien-être pour une économie avec un nombre fini d'agents et une infinité de biens quand les préférences des agents ne sont pas supposées à valeurs convexes et/ou quand l'ensemble de production total n'est pas convexe. Pour la même économie non-convexe, un résultat récent de l'un des auteurs introduit des conditions qui, appliquées à une économie convexe définie sur un espace de Banach, donnent un résultat bien connu de décentralisation par des prix continus, sous des conditions d'intériorité, des allocations Pareto-optimales. Dans cet article, nous renforçons les conditions sur l'espace des biens, supposé ici être un espace de Riesz normé et complet, et introduisons une version non-convexe des hypothèses de propreté sur les préférences et l'ensemble de production total. Appliqué au cas convexe, notre résultat devient l'habituel deuxième théorème de l'économie du bien-être quand des hypothèses de propreté remplacent la condition d'intériorité. La démonstration utilise une généralisation par Borwein-Jofré du théorème de Hahn-Banach qui permet de séparer des ensembles non-convexes dans un espace de Banach.
Mots-clés : Second théorème de l'économie du bien-être, économies non-convexes, espaces de Banach, sous-différentiel, espaces de Riesz normés et complets, hypothèses de propreté.

Abstract. In this paper, we prove a new version of the Second Welfare Theorem for nonconvex economies with a finite number of agents and an infinite number of commodities, that is when the preference correspondences are not convex-valued and/or when the total production set is not convex. For this kind of nonconvex economies, a recent result, obtained by one of the authors introduces conditions which, when applied to the convex case, give for Banach commodity spaces the well-Known result of decentralization by continuous prices of Pareto-optimal allocations under an interiority condition. In this paper, in order to prove a different version of the Second Welfare Theorem, we reinforce the conditions on the commodity space, assumed here to be a Banach lattice, and introduce a nonconvex version of the properness assumption on preferences and the total production set. Applied to the convex case, our result becomes the usual Second Welfare Theorem when properness assumptions replace the interiority condition. The proof uses a Hahn-Banach Theorem generalization by Borwein and jofré which allows to separate nonconvex sets in general Banach spaces.
Keywords : Second welfare theorem, nonconvex economies, Banach spaces, subdifferential, Banach lattices, properness assumptions.

JEL Classification : D51, D6.

*CMM, UMR CNRS 2071, Departamento de Ingenería Matemática, Universidad de Chile, Blanco Encalada 2120, Casilla 170, Correo 3, Santiago, Chile.