De Condorcet à Arrow via Guilbaud, Nakamura et les "jeux simples"

Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. Ce texte a pour but de présenter le théorème d'Arrow et plus généralement la structure commune de nombreux résultats "arrowiens" montrant la difficulté d'agréger des préférences individuelles en une préférence collective. On commence par rappeler "l'effet Condorcet", cause de "l'échec" de la règle majoritaire. Cette règle est un exemple de règle définie par un "jeu simple", et à la suite de Guilbaud, on cherche ensuite si parmi de telles règles on peut en trouver de plus satisfaisantes. La réponse, plutôt négative, est donnée par les théorèmes de Guilbaud et de Nakamura. Adoptant ensuite une démarche axiomatique, on montre que des règles vérifiant les propriétés d'indépendance et de Pareto et évitant "l'effet Condorcet" sont définies par un "jeu simple", ce qui permet d'obtenir des théorèmes arrowiens et finalement le théorème d'Arrow. La dernière section donne des indications sur les nombreux développements montrant la robustesse de ce théorème.
Mots clés : Arrow, agrégation des préférences, effet Condorcet, jeu simple, Guilbaud, Nakamura, ultrafiltre.

Abstract. The aim of this paper is to present Arrow's theorem and more generally the common framework of many results which can be called "Arrovian theorems". One begins by recalling the Condorcet majority rules and why they fail : the "effet Condorcet". These rules are examples of preference aggregation functions defined by a simple game, and then following Guilbaud's approach, one seeks if in the class of all these functions one can find functions avoiding this problem. The rather negative answer is given by the Guilbaud and Nakamura theorems. Taking then an axiomatic approach one shows that some independent and Paretian preference aggregation functions avoiding the "effet Condorcet" are defined by a simple game. So the previous results allow to get several Arrovian theorems and finally the Arrow theorem. In the last section one gives some historical and bibliographical comments on these results and on several developments showing essentially the robustness of Arrow's theorem.
Keywords : Arrow's theorem, effet Condorcet, Guilbaud's theorem, Nakamura's theorem, simple game, social choice, ultrafilter.

JEL Classification : D71.