Continuum versus discrete time market game

Bernard De Meyer, CERMSEM
Alexandre Marino, CERMSEM


Résumé. En modélisant l'interaction stratégique d'agents asymétriquements informés sur les marchés financiers par un jeu répété à information incomplète, De Meyer et Moussa Saley [1] ont mis en évidence une justification endogène pour l'apparition du mouvement Brownien en finance. L'apparition de la loi normale dans l'étude asymptotique de Vn(P) /Ö n est le point clé de cette justification. Dans le modèle introduit par De Meyer et Moussa Saley [1], les agents peuvent fixer des prix dans un espace continu. En réalité, sur le marché, les agents sont contraints d'annoncer des prix discrétisés. Cette remarque soulève l'interrogation suivante : "Dans le cadre d'un jeu de marché discrétisé, l'étude asymptotique de Vn /Ö n met-elle en évidence la loi normale ?". L'objet de cet article est de montrer que le terme en Ö n n'apparaît plus dans le développement de Vn pour une discrétisation quelconque ; et de mettre en évidence une approximation du jeu continu par le jeu discrétisé. Cette dernière permettra de confirmer l'apparition du mouvement brownien sur le marché financier dans un cadre plus réaliste.
Mots clés : Théorie des jeux, finance, information.

Abstract. A zero-sum repeated game with one-side information is used to represent the strategic interaction between two agents with asymmetric information on the stock market. De Meyer and Moussa Saley [1] provide an endogenous justification for the appearance of Brownian Motion in Finance. The key of this justification is the appearance of the normal distribution in asymptotic analyze of Vn(P) /Ö n. In De Meyer and Moussa Saley's [1] model, agents can fix a price in a continuous space. In reality, the market compels agents to set a discrete price. The previous remark raises the following question : "In the context of a discrete market game, does the asymptotic analyze of Vn /Ö n give prominently the normal distribution ?". In this way, the mains topics of this article are to prove that for all discretization of the state price, Vn(P) /Ö n uniformly converges to 0 and to compute an approximation of the continuous time market game by the discrete one which confirms the appearance of Brownian Motion in a more realistic case.
Keywords : Games theory, finance, information.

AMS Classification : 91A80, 91A05.