Finite orders and their minimal strict completion lattices

Gabriela Hauser Bordalo*, Universidade de Lisboa
Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. Une complétion stricte d'un ensemble ordonné P est un treillis dont l'ensemble ordonné des éléments sup-irréductibles est isomorphe à P. L'ensemble des complétions strictes d'un ensemble ordonné est lui-même un treillis dont l'élément minimum D(P)* est appelé la complétion stricte minimale de P. Elle est égale à la complétion D(P) de Dedekind-Mac Neille de P si et seulement si tout élément de P est sup-irréductible. Nous étudions quelques propriétés de la correspondance bijective entre les ensembles ordonnés et leurs complétions strictes minimales dans le cas où D(P)* = D(P) ou dans le cas général. En particulier nous montrons que D(P)* est engendré par ses éléments doublement irréductibles et que c'est un treillis modulaire si et seulement si P est un ordre fort.
Mots-clés : Complétion stricte, complétion de Dedekind MacNeille, ensemble ordonné, préordre total, sup-irréductible, treillis distributif, treillis modulaire.

Abstract. A strict completion of a poset P si a lattice such that its poset of join-irreducible elements is isomorphic to P. The set of all the strict completion of P is itself a lattice. The minimum element of this lattice is called the minimal strict completion of P an is denoted by D(P)*. It equals the Dedekind MacNeille completion of P if and only if every element of P is join-irreducible. We study some properties of the one-to-one correspondence between the posets and their minimal strict completions either in the case or in the general case. In particular we show that D(P)* is generated by its doubly irreducible elements and that it is a modular lattice if and only if P is a weak order.
Keywords : Dedekind MacNeille completion, distributive lattice, join-irreducible element, modular lattice, poset, strict completion, weak order.

JEL Classification : C60.

*Departamento de Matematica da Faculdade de Ciencias e Centro de Algebra da Universidade de Lisboa, R. Prof. Gama Pinto, 2, 1699 Lisboa, Portugal.