The presence of lattice theory in discrete problems of mathematical social sciences. Why ?

Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. Même si dans ce papier nous signalons de nombreux domaines des mathématiques des sciences sociales où apparaissent des structures latticielles nous n'entendons pas faire une revue des usages de ces structures dans ces sciences. En fait notre tour d'horizon concerne l'ubiquité et le polymorphisme de la théorie des treillis finis, qui explique son apparition dans de nombreux problèmes relevant de ces sciences (par exemple ceux concernant l'allocation de ressources discrètes). D'une part les treillis sont au confluent de deux grands types de structures mathématiques, à savoir les structures algébriques et les structures ordinales. D'autre part des treillis sont naturellement associés à des objets mathématiques fondamentaux, tels que les familles de parties, les relations, les opérateurs ou les implications. Nous examinons ces différents points et nous les illustrons dans le cas de deux classes de treillis particulièrement importantes, celles des treillis distributifs et des treillis localement distributifs.
Mots clés : Famille de Moore, fermeture, implication, relation binaire, treillis, treillis de Galois, treillis localement distributif.

Abstract. In this paper we point out many fields of mathematical social sciences where lattices are present, for instance the discrete resources allocation problems. However we do not intend to survey the use of lattice theory in such discrete problems. Rather we present an overview on the ubiquity and polymorphism of finite lattice theory which accounts for its presence in these prolbems. Indeed on one hand lattices are one hand lattices are on the border of two fundamental mathematical structures, namely algebra and order, and on the other hand they are naturally induced by several other significant mathematical objects like set systems, operators, binary relations or implications. We set out these different aspects and we illustrate them in the case of two significant classes of lattices, the lower locally distributive lattices and the distributive lattices.
Keywords : Binary relation, closure operator, closure system, entailment relation, Galois lattice, implication, lattice, locally distributive lattice, set system.

AMS Classification : 06, 91.