Risk disaggregation as an explanation of the smile : the Black & Scholes formula revisited

Thierry Chauveau, TEAM
Hayette Gatfaoui, TEAM

Résumé. Dans leur formule, Black & Scholes évaluent le prix d'un call européen portant sur un actif sous-jacent sans distinction des risques qui composent ce dernier. En appliquant la méthode de pricing de Black & Scholes tout en faisant la distinction, à l'image de Sharpe (1964), entre le risque de marché et le risque idiosyncratique, nous obtenons une nouvelle formule de pricing de call européen. Les paramètres de cette formule comprennent les volatilités des deux facteurs de risque ou, de façon équivalente, la volatilité du facteur de marché ainsi que celle de l'action sous-jacente. Nous construisons alors un portefeuille destiné à dupliquer le facteur de marché, ce portefeuille de réplication étant un portefeuille diversifié de façon naïve. Sous certaines conditions de régularité, l'effet de diversification connu pour compenser les risques spécifiques, s'applique. Le prix d'un call européen portant sur une action peut alors s'exprimer en termes des volatilités respectives du portefeuille de réplication et de l'action sous-jacente (ainsi que de son beta). Finalement, nous comparons notre formule à celle de Black & Scholes ainsi qu'à la méthode d'évaluation proposée par Corrado & Su. Nous mettons en évidence l'existence d'un smile de volatilité tout en fournissant une explication concurrente de celle proposée par les modèles à volatilité stochastique (i.e. : Heston [1993]) ou par les modèles supposant une distribution non normale pour les rendements des actifs (i.e. : Corrado & Su [1996, 1997]).
Mots clés : Evaluation d'option, smile de volatilité, risque systématique, risque idiosyncratique, diversification.

Abstract. In their formula, Black & Scholes evaluate a european call an underlying asset without distinguishing between the different risks borne by the asset. Applying the Black & Scholes' pricing methodology and distinguishing between the market risk and idiosyncratic risk, as Sharpe [1964] did, we obtain a new pricing formula for a european call. The parameters of this formula include the volatilities of the two risk factors, or alternatively, the volatility of the market factor replicating portfolio (MFR) which is a naively divesified portfolio. Under some regularity conditions, the diversification effect known to offset the specific risks applies. The price of a european call on a stock may then be expressed in terms of the volatilities of the MFR portfolio and of the underlying stock (and of its beta). Finally, we compare our formula to that of Black & Scholes and to the valuation proposed by Corrado & Su. We focus on the existence of a volatility smile and we give an explanation competing with the one proposed by stochastic volatility models (e.g. Heston [1993] or models assuming a non normal distribution for the assets' returns (e.g. Corrado & Su [1996, 1997]).
Keywords : Option pricing, volatility smile, systematic risk, idiosyncratic risk, diversification.

JEL Classification : G11, G12, G13.