History (path) dependent optimal control and portfolio valuation and management

Jean-Pierre Aubin, Université Paris-Dauphine
Georges Haddad, CERMSEM

Résumé. En interprétant une évolution des prix d'actifs financiers gouvernée par un système dynamique dépendant de son histoire (history, memory ou path dependent systems) comme un mécanisme prédictif, nous proposons dans cet article le calcul de la fonction de valuation et de la loi de régulation de portefeuilles (duplicant par exemple des options européennes, américaines ou autres) en fonction d'un tel mécanisme, au lieu de supposer que l'évolution des prix soit incertaine (stochastique ou tychastique). Le problème est formulé dans le cadre d'un problème de viabilité/capturabilité pour un système contrôlé dépendant de l'histoire et les résultats obtenus dans ce cadre général sont ensuite transférés à ces exemples issus de la finance mathématique et d'autres provenant de l'optimisation intertemporelle de critères portant sur les solutions de problèmes de contrôle dépendant de l'histoire. Cela nous permet en particulier de donner une formule explicite de la fonctionnelle de valuation (qui dépend de l'histoire) et de montrer qu'elle est une solution d'un système d'équations aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi-Bellman-Clio où l'on doit pour cela introduire le concept de "dérivées de Clio" de fonctionnelles définies sur les histoires (ou les sentiers). Cela nous permet d'adapter aux problèmes d'optimisation intertemporelle de solutions de systèmes contrôlés dépendant de l'histoire de la théorie d'Hamilton-Jacobi-Bellman.
Mots clés : Equations d'Hamilton-Jacobi-Bellman, systèmes contrôlés dépendant de l'histoire (ou du sentier), inclusions differentiels fonctionnelles, viabilité, capturabilité, valuation de portefeuilles, gestion de portefeuilles, dérivées de Clio, encha”nement de fonctions.

Abstract. Regarding the evolution of financial asset prices governed by an history dependent (path dependent) dynamical system as a prediction mechanism, we provide in this paper the dynamical valuation and management of a portfolio (replicating for instance European, American and other options) depending upon this prediction mechanism (instead of an uncertain evolution of prices, stochastic or tychastic). The problem is actually set in the format of a viability/capturability theory for history dependent control systems and some of their results are then transferred to the specific examples arising in mathematical finance or optimal control. They allow us to provide an explicit formula of the valuation function and to show that it is the solution of a "Clio Hamilton-Jacobi-Bellman" equation. For that purpose, we introduce the concept of Clio derivatives of "history functionals" in such a way we can give a meaning to such an equation. We then obtain the regulation law governing the evolution of optimal portfolios.
Keywords : Hamilton-Jacobi-Bellman equations, history dependent control, path dependent control, functional differential inclusion, viability, capturability, portfolio valuation, portfolio management, Clio derivatives, chaining of functions.