Evaluation des options par la transformée de Fourier

Bogdan Negrea, TEAM

Résumé. Dans cet article nous proposons un modèle d'évaluation stochastique recourant à la transformée de Fourier du prix de l'option. Il s'agit d'un modèle d'évaluation des options européennes caractérisé par deux variables d'état : le prix de l'actif sous-jacent et la volatilité du prix de l'actif sous-jacent. En modélisant les processus stochastiques suivis des variables d'état nous obtenons une équation aux dérivées partielles dont la solution donne le prix de l'actif dérivé. Nous proposons une solution de cette équation en utilisant la transformée de Fourier. Nous montrerons qu'en appliquant la transformée de Fourier, la résolution de l'EDP du second ordre implique la résolution d'une EDO. Nous tenons compte qu'il existe une corrélation r entre le prix de l'actif sous-jacent et la volatilité et qu'il existe deux sources de risque : de rendement et de volatilité.
Mots clés : Evaluation des options, volatilité stochastique, transformée de Fourier, Prévision de la volatilité.

Abstract. This working paper proposes a stochastic pricing model using the Fourier transform of the option price. The model evaluates the European options, characterized by two state variables : underlying asset price and the volatility of the underlying asset price. Modeling the stochastic process followed by the two state variables, we get a partial differential equation - having as solution the price of the option. We will propose a solution for this equation using the Fourier transform. Applying this transform, solving the partial differential equation reduces to resolve an ordinary differential equation. We also consider the existence of a correlation r between the underlying asset price and the volatility, as well as the existence of two risk source : the yield risk and the volatility risk.
Keywords : Option pricing, stochastic volatility, Fourier transform, volatility forecasting.

JEL Classification : G10, G12, G13.