Detectability through measurements under impulse differential inclusions

Jean-Pierre Aubin*, Université Paris-Dauphine
Georges Haddad, CERMSEM

Résumé. Ce travail adapte au cas des systèmes contrôlés impulsionnels et hybrides les résultats obtenus par Aubin, Bicchi & Pancanti sur la "détectabilité" des solutions des systèmes contrôlés usuels. Les mesures sur l'état sont décrites par des tubes de détectabilité qui sont observés durant l'évolution. Le détecteur associe à chaque instant et à chaque état correspondant à la mesure à cet instant l'ensemble (éventuellement vide) des états initiaux à partir desquels une évolution vérifiant les mesures arrive à cet état donné. Ce détecteur est alors étudiés avec les outils de la théorie de la viabilité. On démontre qu'il est une solution de Frankowska d'un système d'inclusions aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi-Bellman vérifiant des propriétés non linéaires supplémentaires (qui est l'analogue vectoriel du concept d'inéquations quasi variationnelles de Bensoussan-Lions en contrôle optimal impulsionnel. Les dérivées du détecteur sont impliquées dans la caractérisation de la correspondance de régulation.

Abstract. This paper adapts to the case of impulse and hybrid control systems the results obtained by Aubin, Bicchi & Pancanti on "detectability" of solutions of usual control systems. Measurements of the state, described by a detectability tube, that may be quantized, are gathered along time. The detector associates at each time with any state satisfying the given measurement the (possibly) empty set of the initial states from which starts a solution that arrives at this state while satisfying the measurements. This detector is then studied by tools of viability theory, and shown to be a solution to a system of Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential inclusions satisfying supplementary conditions (that can be regarded as the vectorial analogue of Bensoussan-Lions "quasi-variational inequalities" in impulse optimal control. The derivatives of the detector provide the regulation map governing the motives of the detectable runs.
Keywords : Hybrid control, impulse control, observability, detectability, detector, capture basin, run, execution, quasi variational inequalities, system of Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential inclusions.

*Université Paris-Dauphine, Centre de Recherche Viabilité, Jeux, Contrôle, F-75775 Paris cedex 16.