Cadenced runs of impulse and hybrib control systems

Jean-Pierre Aubin, Université Paris-Dauphine
George Haddad, CERMSEM

Résumé. Les Inclusions Différentielles Impulsionnelles (I.D.I.), et en particulier, les systèmes à contrôle hybride, sont définis par une inclusion différentielle (ou un système contrôle) et une application de réinitialisation. L'évolution d'une I.D.I. est définie par une suite de cadences, d'états réinitialisés et de moteurs décrivant l'évolution le long d'une cadence entre deux temps impulsionnels consécutifs, la valeur du moteur à la fin d'une cadence étant réinitialisée. Une évolution cadencée est alors définie par une cadence constante, un état initial et des moteurs, où la valeur à la fin d'une cadence est réinitialisée au même état. Elle joue le rôle d'une solution périodique "discontinue" d'une inclusion différentielle. Nous démontrons que si la suite des états réinitialisés converge vers un état, alors l'évolution converge vers une évolution cadencée partant de cet état, et que, sous des hypothèses de convexité, une telle évolution existe.
Mots clés : Contrôle hybride, contrôle impulsionnel, inclusion différentielle, viabilité, évolution, exécution, périodique, évolution cadencée, équilibre, théorème de Kakutani, cône contingent, application de Marchaud.

Abstract. Impulse differential inclusions (I.D.I.), and in particular, hybrid control systems, are defined by a differential inclusion (or a control system) and a reset map. A run of an I.D.I. is defined by a sequence of cadences, of reinitialized states and of motives describing the evolution along a given cadence between two distinct consecutive impulse times, the value of a motive at the end of a cadence being reset as the next reinitialized state of the next cadence. A cadenced run is then defined by constant cadence, initial state and motive, where the value at the end of the cadence is reset at the same reinitialized state. It plays the role of a "discontinuous" periodic solution of a differential inclusion. We prove that if the sequence of reinitialized states of a run converges to some state, then the run converges to a cadenced run starting from this state, and that, under convexity assumptions, that a cadenced run does exist.
Keywords : Hybrid control, impulse control, differential inclusion, viability, run, execution, periodic, cadenced run, equilibrium, Kakutani Theorem, contingent cone, Marchaud map.