Biclosed binary relations and Galois connections

Florent Domenach, CERMSEM
Bruno Leclerc*, CAMS


Résumé. Etant donnés deux espaces de fermeture (E,j') et (E',j'), une relation R inclue dans E x E' est dite bifermée si toute ligne de sa représentation matricielle correspond à un fermé par j, et toute colonne à un fermé par j'. On établit alors un isomorphisme entre, d'une part, l'ensemble des relations bifermées et, d'autre part, l'ensemble des correspondances de Galois entre les deux treillis de fermés. On déduit de ce résultat plusieurs applications à la détermination d'applications galoisiennes particulières.
Mots clés : Fermeture, treillis, relation, sup-irréductible, correspondance de Galois.

Abstract. Given two closure spaces (E,j') and (E',j'), a relation R inclue dans E x E' is said biclosed if every row of its matrix representation corresponds to a closed subset of E', and every column to a closed subset of E. An isomorphism between, on the one hand, the set of all biclosed relations and, on the other hand, the set of all Galois connections between the two lattices of closed sets is established. Several computational applications are derived from this result.
Keywords : Closure, lattice, relation, join irreducible, Galois connection.

AMS Classification : 06A15, 68R99.

*CAMS, 54 Boulevard Raspail, 75006 Paris.