Asymptotic arbitrage and the APT with or without measure-theoretic structures

Ali Khan*, Johns Hopkins University et CERMSEM
Yeneng Sun**, National University of Singapore

Résumé. Cet article présente une version de la théorie de l'évaluation des actifs dans le cas où l'ensemble des actifs est de cardinalité infinie arbitraire. Sous des hypothèses dûes à Ross et Chamberlain-Rothschild, nous montrons qu'en l'absence de gains provenant d'un arbitrage asymptotique, la somme des carrés des déviations des taux individuels de retour par rapport à une formule de prix des facteurs est finie. L'absence de gains tirés d'un arbitrage asymptotique est une condition suffisante mais non nécessaire à la validité de cette formule. Ces résultats sont reliés à un travail récent et expliquent en particulier certaines des incohérences d'une version de l'évaluation des actifs quand l'ensemble des actifs est l'intervalle-unité muni de la mesure de Lebesgue.
Mots clés : Evaluation des actifs par arbitrage, arbitrage asymptotique, continuité de la fonction coût, théorème de représentation de Riesz, structure des facteurs, espace mesuré finiment additif, continu.

Abstract. We present a version of the APT based on an asset index set of an arbitrary infinite cardinality. Under assumptions due to Ross and Chamberlain-Rothschild, we shhow that in the absence of gains from asymptotic arbitrage, the square of the deviations of the individual rates of return from a factor-pricing formula sum to a finite number ; and that this absence, while sufficient, is not necessary for the formula to hold. We relate these results to recent work, and explain, in particular, how a version of the APT exhibits several inconsistencies when the index set is the Lebesgue unit interval.
Keywords : Arbitrage pricing theory, asymptotic arbitrage, continuity of cost-functionals, Reisz representation theorem, factor structure, finitely-additive measure space, Lebesgue continuum.

JEL Classification : G12, C60.

*The Johns Hopkins University, Baltimore, Department of Economics, MD 21218.
**National University of Singapore, Department of Mathematics, 2 Science Drive 2, Singapore 117543.