Continuous-time Dynkin games with mixed strategies

Nizar Touzi, CERMSEM
Nicolas Vieille*, Université Montesquieu-Bordeaux 4 et Laboratoire d'Econométrie de l'Ecole Polytechnique


Résumé. Soient X et Y deux processus de paiement définissant le jeu de Dynkin R tilde (s, t) = E[X(s)1{t > s}+Y(t)1{t inférieur ou égal à s}], où s et t sont des temps d'arrêt. Il est bien connu que la condition X inférieur ou égal à Y garantit l'existence d'une valeur à ce jeu, c'est-à-dire inftsups tilde R(s,t) = supsinft tilde R(s,t). Afin de se débarasser la condition X inférieur ou égal à Y, nous introduisons une extension du jeu de Dynkin en autorisant un ensemble "convenablement" étendu de stratégies mixtes. Nous montrons alors que le jeu de Dynkin ainsi étendu admet une valeur sous la seule condition que le processus de paiement X et Y sont des semimartingales continues.

Abstract. Let X and Y be two payoff processes defining a Dynkin game R tilde (s, t) = E[X(s)1{t > s}+Y(t)1{t inférieur ou égal à s}], where s and t are stopping times. It is well-known that the condition X inférieur ou égal à Y is needed in order to establish the existence of value for the game, i.e. inftsups tilde R(s,t) = supsinft tilde R(s,t). In order to get rid of the condition X inférieur ou égal à Y, we introduce an extension of the Dynkin game by allowing for an extended set of strategies, namely the set of mixed strategies. The main result of the paper is that the extended Dynkin game has a value when the processes X and Y are only restricted to be continuous semimartingales.
Keywords : Optimal stopping, Dynkin games, stochastic analysis, minimax theorem.

AMS Classification : 60G40, 90D15, 60H30, 46N10.

*Université Montesquieu-Bordeaux 4 et Laboratoire d'Econométrie de l'Ecole Polytechnique, 01 Rue Descartes, 75005 Paris, France