Direct characterization of the value of super-replication under stochastic volatility and portfolio constraints

Nizar Touzi, CERMSEM


Résumé. Nous étudions le problème de la recherche du plus petit capital initial nécessaire pour couvrir un actif contingent européen sans risque. Le marché financier présente deux sources d'incomplétude : le caractère stochastique de la volatilité et les contraintes de portefeuille décrites par un ensemble convexe fermé. Contrairement à la littérature existante, nous utilisons un principe de programmation dynamique original introduit par Soner et Touzi (1998,1999). Ceci permet de retrouver tous les résultats connus sans faire appel à la formulation duale du problème. Nous montrons aussi un résultat de caractérisation du coût de sur-réplication comme unique solution de viscosité discontinue de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman associée à une condition terminale adéquate.
Mots clés : Capacité, intégrale de Choquet, décision dans l'incertain, aversion pour l'incertitude.

Abstract. We study the problem of minimal initial capital needed in order to hedge a European contingent claim without risk. The financial market presents incompleteness arising from two sources : stochastic volatility and portfolio constraints described by a closed convex set. In contrast with previous literature which uses the dual formulation of the problem, we use an original dynamic programming principle stated directly on the initial problem, as in Soner and Touzi (1998, 1999). We then recover all previous known results under weaker assumptions and without appealing to the dual formulation. We also prove a nex characterization result of the value of super-replication as the unique continuous viscosity solution of the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation with a suitable terminal condition.
Keywords : Stochastic control, viscosity solutions, super-replication problem, stochastic volatility, portfolio constraints.

AMS Classification : 90A09, 93E20, 60H30, 60G44, 90A16.