Direct characterization of the value of super-replication under stochastic volatility and portfolio
constraints
Résumé.
Nous étudions le problème de la recherche du plus petit capital initial nécessaire pour couvrir un actif
contingent européen sans risque. Le marché financier présente deux sources d'incomplétude : le caractère
stochastique de la volatilité et les contraintes de portefeuille décrites par un ensemble convexe fermé.
Contrairement à la littérature existante, nous utilisons un principe de programmation dynamique original
introduit par Soner et Touzi (1998,1999). Ceci permet de retrouver tous les résultats connus sans faire
appel à la formulation duale du problème. Nous montrons aussi un résultat de caractérisation du coût de
sur-réplication comme unique solution de viscosité discontinue de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman
associée à une condition terminale adéquate.
Abstract.
We study the problem of minimal initial capital needed in order to hedge a European contingent claim
without risk. The financial market presents incompleteness arising from two sources : stochastic volatility
and portfolio constraints described by a closed convex set. In contrast with previous literature which uses
the dual formulation of the problem, we use an original dynamic programming principle stated directly on
the initial problem, as in Soner and Touzi (1998, 1999). We then recover all previous known results under
weaker assumptions and without appealing to the dual formulation. We also prove a nex characterization
result of the value of super-replication as the unique continuous viscosity solution of the associated
Hamilton-Jacobi-Bellman equation with a suitable terminal condition.
AMS Classification :
90A09, 93E20, 60H30, 60G44, 90A16.
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