Explicit solution of the multivariate super-replication problem under transaction costs

Bruno Bouchard*, CEREMADE, Université Paris Dauphine et CREST
Nizar Touzi, CERMSEM

Résumé. Nous considérons un modèle de marché financier multidimensionnel avec coûts de transaction, comme dans Kabanov (1999). Nous étudions le problème de sur-réplication, c'est-à-dire la recherche du plus petit capital initial nécessaire pour la couverture sans risque d'un actif contingent européen. Nous montrons que la fonction valeur de ce problème de contrôle stochastique est donnée par le coût de la stratégie buy-and-hold la moins chère. Ceci constitue une extension du résultat déjà connu en dimension 1. Contrairement à la littérature existante, notre approche ne fait pas appel à la formulation duale du problème de sur-réplication.

Abstract. We consider a multivariate financial market with transaction costs as in Kabanov (1999). We study the problem of finding the minimal capital needed to hedge, without risk, European-type contingent claims. We prove that the value of this stochastic control problem is given by the cost of the cheapest buy-and-hold strategy. This is an extension of the already known result in the one-dimensional case. An important feature of our analysis is that we do not make use of the dual formulation of the problem, as in the previous literature.
Keywords : Transaction costs, hedging options, dynamic programming, viscosity solutions.

AMS Classification : 90A09, 93E20, 60H30, 60G44, 90A16.