Stochastic target problems, dynamic programming and viscosity solutions

H. Mete Soner*, Princeton University
Nizar Touzi, CERMSEM

Résumé. Dans ce papier, on étudie une nouvelle classe de problèmes de contrôle optimal stochastique qui sont étroitement liés à la théorie des équations différentielles stochastiques forward-backward. On considère un processus controlé (X^v, Y^v) à valeurs dans R^dx R, ainsi qu'une donnée initiale X^v(O). Le problème de contrôle consiste à trouver la plus petite donnée initiale pour le processus Y^v pour qu'il puisse atteindre une cible stochastique donnée à une date T fixée. Ce problème est inspiré des applications en finance, où X^v modélise le processus des prix des actifs, v la stratégie de portefeuille et Y^v le processus de richesse. Nous introduisons un nouveau principe de programmation dynamique, qui permet d'obtenir la caractérisation suivante de la donction valeur du problème. Nous montrons d'abord que la fonction valeur est une solution de viscosité discontinue de l'équation de Bellman associée. Nous montrons ensuite que les conditions terminales sont solutions d'une inéquation variationnelle du premier ordre au sens de la viscosité discontinue.

Abstract. In this paper, we define and study a new class of optimal stochastic control problems which is closely related to the theory of Backward SDE's and forward-backward SDE's. The controlled process (X^v , Y^v) takes values in R^dx R and a given initial data for X^v(O). Then, the control problem is to find the minimal data for Y^v so that it reaches a stochastic target at a specified terminal time T. The main application is from financial mathematics in which the process X^v is related to stock price, Y^v is the wealth process, and v is the portfolio. We introduce a new dynamic programming principle and prove that the value function of the stochastic target problem is a discontinuous viscosity solution of the associated dynamic programming equation. The boundary conditions are also shown to solve a first order varational inequality in the discontinuous viscosity sense. This provides a unique characterization of the value function which is the minimal initial data for Y^v.
Keywords : Stochastic control, dynamic programming, discontinuous viscosity solutions, forward-backward stochastic differential equations.

AMS Classification : 49J20, 60J60, 49L20, 35K55.

*Princeton University, Department of Operations Research and Financial Engineering.