Optimal insurance demand under marked point processes shocks

Nizar Touzi, CERMSEM

Résumé. Nous étudions le problème de maximisation de l'utilité espérée de la richesse terminale. Le processus de richesse subit des chocs produit par un processus de point marqué général. Le problème de l'agent est de trouver l'allocation optimale de sa richesse entre l'investissement en actif sans risque et l'assurance (coûteuse) qui lui permet d'atténuer les chocs qu'il subit. Nous obtenons une formulation duale qui consiste en un problème de contrôle stochastique non contraint. Au cours de la démonstration de la dualité, nous montrons en particulier un théorème d'existence pour le problème de contrôle dual et primal. L'étude de quelques exemples montre l'existence de deux seuils critiques pour la prime d'assurance : (i) au-dessus du premier seuil, l'agent n'a pas recours au marché de l'assurance, (ii) en-dessous du second seuil, l'agent assure totalement sa richesse.

Abstract. We study the stochastic control problem of maximizing expected utility from terminal wealth, when the wealth process is subject to shocks produced by a general marked point process ; the problem of the agent is to derive the optimal allocation of his wealth between investments in a nonrisky asset and in an (costly) insurance strategy which allows to "lower" the level of the shocks. The agent's optimization problem is related to a suitable dual stochastic control problem in which the constraint on the insurance strategy disappears. We establish a general existence result for the dual problem as well as the duality between boths problems. We conclude by some applications in the context of power (and logarithmic) utility functions and linear insurance premium which show, in particular, the existence of two critical values for the insurance premium : below the lower critical value, the agent prefers to be completely insured, whereas above the upper critical value he takes no insurance.
Keywords : Optimal insurance, stochastic control, convex analysis, duality, optional decomposition.

AMS Classification : 93E20, 90A40, 60H30, 49N15, 90A09.