Existence and structure results on almost periodic solutions of difference equations

Joël Blot, CERMSEM
Denis Pennequin, CERMSEM

Résumé. Nous étudions les solutions presque-périodiques d'équations d'Euler et d'équations aux différences plus générales. On considère deux notions de suites presque-périodiques, et prouvons des relations entre ces notions. Nous construisons des espaces de suites presque-périodiques adéquats et démontrons des propriétés de ces espaces. On prouve aussi des propriétés des opérateurs de Nemytskii pour ces espaces. On construit une approche variationnelle pour démontrer des théorèmes d'existence de solutions presque-périodiques sur ces espaces obtenus comme points critiques. On obtient ainsi des théorèmes d'existence pour des équations linéaires non autonomes et pour les équations d'Euler dont le lagrangien est concave coercif. On utilise aussi une approche de point fixe pour obtenir un théorème d'existence pour une équation quasi-linéaire.
Mots clés : Equations aux différence, oscillations presque-périodiques, méthodes variationnelles, méthodes de point fixe.

Abstract. We study the almost periodic solutions of Euler equations and of some more general difference equations. We consider two different notions of almost periodic sequences, and we establish some relations between them. We build suitable sequences spaces and we prove some properties of these spaces. We also prove properties of Nemytskii operators on these spaces. We build a variational approach to establish existence of almost periodic solutions as critical points. We obtain existence theorems for nonautonomous linear equations and for an Euler equation with a concave and coercive lagrangian. We also use a fixed point approach to obtain existence results for quasi-linear difference equations.
Keywords : Difference equations, almost periodic, oscillations, variational methods, fixed point methods.

AMS Classification : 39A10, 47H30, 43A60, 93C55.