A geometric approach to local indeterminacy & local bifurcations in three-dimensional dynamical systems

Jean-Paul Barinci, EUREQua
Jean-Pierre Drugeon, EUREQua

Résumé. Dans les modèles économiques où la dynamique d'équilibre est gouvernée par un système non linéaire de dimension trois, l'analyse des questions d'indétermination locale - afférant à la notion d'équilibres à taches solaires - est généralement d'une grande complexité formelle, l'étude analytique du spectre de la matrice Jacobienne restant le plus souvent un exercice peu à même de renseigner sur les propriétés du système. C'est l'objet de cette contribution que de remédier à ces difficultés en développant une méthode géométrique aisément utilisable. Dans la perpective de l'étude des bifurcations locales sont ainsi dégagées un ensemble particulièrement maniable de conditions nécessaires et suffisantes à l'occurence de ces phénomènes. Est de même établi un catalogue de critères très simples permettant de statuer quant à la détermination ou l'indétermination de l'équilibre. L'utilité et la facilité d'utilisation de cette méthode sont démontrées dans le cadre d'un modèle monétaire à générations imbriquées avec production et offre de travail flexible.
Mots clés : Systèmes dynamiques de dimension trois, indétermination locale, bifurcations locales, fluctuations endogènes, multiplicité.

Abstract. In discrete three-dimensional dynamical systems frequently encountered in dynamic general equilibrium models, local indeterminacy -sunspot equilibria - and local bifurcations -endogenous deterministic fluctuations - issues are quite difficult to handle. Pitfalls derive from the fact that in generic models a standard analysis of the spectrum of the 3 x 3 Jacobian matrix, though achievable, usually turns out to be of no use. It is the purpose of this contribution to develop geometrical tools which avoid cumbersome computations or numerical investigations. Rather tractable necessary and sufficient conditions are provided, that ensure the occurence of generic local bifurcations and also a useful "toolkit" for assessing the local determinacy / indeterminacy of intertemporal equilibria. The usefulness of this method is finally illustrated in a productive model of overlapping generations with elastic labour supply.
Keywords : 3-D Discrete dynamical systems, local bifurcations, local indeterminacies, endogenous fluctuations, multiplicities.

JEL Classification : C61, E32, O4.