On the different notions of arbitrage and existence of equilibrium

Rose-Anne Dana*, CEREMADE
Cuong Le Van, CERMSEM
François Magnien, INSEE


Résumé. Dans ce papier nous démontrons d'abord un théorème d'existence d'un équilibre pour des économies de dimension finie mais avec des ensembles de consommation non bornées inférieurement. Nous supposons que l'ensemble des utilités individuellement rationnelles est compact et utilisons l'approche de la demande au lieu de celle bien connue, dite de Negishi. Nous comparons ensuite les différents concepts de non-arbitrage dans la littérature et donnons des conditions pour obtenir d'une part, l'équivalence entre ces concepts, et d'autre part, entre ces concepts et l'existence d'un équilibre. Enfin, nous introduisons le concept d'arbitrage non borné au sens fort et montrons que l'absence de ce non-arbitrage implique la compacité de l'ensemble des utilités individuellement rationnelles.
Mots clés : Equilibre sur les marchés financiers, non-arbitrage, prix de non-arbitrage, prix viable, ensemble des utilités individuellement rationnelles, ensemble des allocations individuellement rationnelles.

Abstract. In this paper we first prove an equilibrium existe theorem for finite dimensional economies with unbounded below consumption sets. We only assume that the individually rational utility set is compact and use the demand approach instead of the standard Negishi's approach. We next compare the different concepts of no-arbitrage that have been used in the literature and give conditions for equivalence between absence of arbitrage and existence of equilibrium. Lastly, we introduce the concept of strong unbounded arbitrage and show that the absence of strong unbounded arbitrage implies the compactness of the individually rational utility set.
Keywords : Equilibrium in asset markets, no-arbitrage, no-arbitrage price, viable price, individually rational utility set, individually rational attainable allocations.

*CEREMADE, Université de Paris 9, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris.