Arbitrage, duality and asset equilibria

Rose-Anne Dana*, CEREMADE
Cuong Le Van, CERMSEM

Résumé. En dimension finie, Werner (1987) a montré que l'existence d'un prix de non-arbitrage implique l'existence d'un équilibre. Ce résultat ne peut pas s'étendre à la dimension infinie. Dans ce papier nous proposons une interprétation, en termes de "poids d'utilités", de la notion de "prix de non-arbitrage". Un "vecteur de poids d'utilités juste" est un vecteur de "poids d'utilités" pour lequel le problème de l'agent représentatif a une solution unique. Ces vecteurs correspondent aux prix de non-arbitrage. L'existence d'un optimum de Pareto peut être vue comme celle de la demande agrégée. Nous définissons alors dans l'espace des poids d'utilités la correspondance d'excès d'utilité qui a les mêmes propriétés qu'un correspondance de demande. Nous utilisons une version généralisée du lemme de Gale-Nikaido-Debreu pour démontrer l'existence d'un équilibre.
Mots clés : Prix de non-arbitrage, poids d'utilités juste, correspondance d'excès d'utilité.

Abstract. In finite dimension, it was proven by Werner (1987), that if there exists a no-arbitrage price, then there exists an equilibrium. This result doesn't generalize to the infinite dimension. The purpose of this paper is to propose a "utility weight" interpretation of the notion of "no-arbitrage price". We define "fair utility weights vectors" as utility weights vectors for which the representative agent problem has a unique solution. They correspond to no-arbitrage prices. Existence of a Pareto-optimum is equivalent to the existence of aggregate demand. We may then define in the space of utility weights, the excess utility correspondence, which has the same properties of an excess demand correspondence. We use a generalized version of Gale-Nikaido-Debreu's lemma to prove existence of an equilibrium.
Keywords : No-arbitrage price, fair utility weights, duality, excess utility correspondence.

*CEREMADE, Université de Paris 9, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris.