The lattices of moore families and closure operators on a finite set : a survey

Nathalie Caspard, CERMSEM
Bernard Monjardet, CERMSEM


Résumé. Nous présentons une synthèse des propriétés du treillis des familles de Moore (familles de sous-ensembles d'un ensemble S contenant S et stables par intersection) sur un ensemble fini S, avec les preuves des résultats les plus importants. En particulier, nous prouvons que ce treillis est atomistique et borné inférieurement, et qu'il existe une base canonique permettant de représenter toute famille de Moore par des familles de Moore "implicationnelles". La notion de famille de Moore admet un certain nombre de versions cryptomorphiques, notamment les notions (d'opérateur) de fermeture et de système (complet) d'implications, notions qui se manifestent dans plusieurs domaines en mathématiques pures ou appliquées ainsi qu'en informatique.
Mots clés : Base canonique, famille de Moore, (opérateur de) fermeture, relation de dépendance, système d'implications, théorie de la donnée, treillis borné inférieurement.

Abstract. We present a survey of properties of the lattice of Moore families (families of subsets of a set S containing S and closed by set intersection) on a finite set S, with proofs of the more significant results. In particular, we prove that this lattice is atomistic and lower bounded and that there exists a canonical basis allowing to represent any Moore family by "implicational" Moore families. The notion of Moore family has many cryptomorphic versions, especially the notions of closure operator and of (full) implicational system, which occur in many fields in pure or applied mathematics and computer science.
Keywords : Canonical basis, closure operator, dependence relation, implicational system, lower bounded lattice, Moore family, theory of data.