The lattice of strict completions of a poset

Gabriela Hauser Bordalo*, Universidade de Lisboa
Bernard Monjardet, CERMSEM

Résumé. Etant donné un ensemble ordonné fini (P,£) nous appelons complétion stricte de P tout treillis (fini) dont l'ensemble ordonné des éléments sup-irréductibles est isomorphe à P. Cet ensemble de treillis peut lui même être ordonné en treillis noté M_p, et nous montrons d'abord que ce treillis est borné inférieurement et semimodulaire inférieurement. Nous étudions ensuite les relations entre des propriétés de l'ensemble ordonné P et du treillis M_p, et nous caractérisons en particulier les ensembles ordonnés P tels que | M_p | £ 2.
Mots clés : Complétion, ensemble ordonné, famille de Moore, treillis, treillis borné inférieurement, semiordre.

Abstract. For a given finite poset (P,£), we construct strict completions of P which are models of all finite lattices L such that the set of join-irreducible elements of L is isomorphic to P. This family of lattices, M_p, turns out to be itself a lattice, which is lower bounded and lower semimodular. We relate some other properties of lattice M_p to properties of our given poset P, and in particular we characterize the posets P for which | M_p | £ 2.
Keywords : Join-irreducible, strict completion, lattice, lower bounded lattice, moore family, poset, semiorder, weak order.

*Universidade de Lisboa, Departamento de Matematica da Faculdade de Ciencias e Centro de Algebra, 1699 Lisboa, Portugal.